1강 - t검정 (t-test) · 강지연 Archive

두 집단의 평균 차이가 통계적으로 유의한지 검증하는 t검정

t검정이란?

정의

두 집단(또는 하나의 집단과 기준값)의 평균 차이가 통계적으로 유의한지 검증하는 방법
“이 차이가 우연이 아니라 진짜인가?”에 대한 답

핵심 개념

용어	설명
귀무가설 ( $H_0$ )	“차이가 없다” — 기본 가정
대립가설 ( $H_1$ )	“차이가 있다” — 연구자가 주장하고 싶은 것
t값	평균 차이를 표준오차로 나눈 값 — 클수록 차이가 확실
p값	귀무가설이 참일 때 이런 결과가 나올 확률 — 작을수록 유의
유의수준 ( $\alpha$ )	기준선. 보통 0.05 (5%) 사용
자유도 (df)	데이터 크기에서 제약 조건을 뺀 값

판단 기준

p < 0.05 → 귀무가설 기각 → “유의한 차이가 있다”
p $\geq$ 0.05 → 귀무가설 채택 → “유의한 차이가 없다”

양측 검정 vs 단측 검정

구분	대립가설	의미	사용 시점
양측 검정 (Two-tailed)	$H_1: \mu \neq \mu_0$	방향 상관없이 차이가 있는지	방향 예측이 어려울 때 (대부분의 연구)
단측 검정 (One-tailed)	$H_1: \mu > \mu_0$ 또는 $\mu < \mu_0$	특정 방향으로 더 큰지/작은지	선행연구 근거로 방향 확신 시

양측 검정이 기본 — 단측 검정은 사전에 방향을 명확히 정당화해야 함
단측 검정의 p값 = 양측 검정 p값 / 2

t분포와 정규분포의 차이

t분포는 정규분포와 유사하게 0을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양
하지만 표본이 작을수록 꼬리가 두꺼움 (Fat Tail) — 극단값이 나올 확률이 더 높음
자유도(df)가 커질수록 t분포는 정규분포(Z)에 수렴 (보통 $n \geq 30$ )
자유도가 작을수록 꼬리가 두껍고 불확실성이 크며, 자유도가 무한대에 가까워지면 표준정규분포 Z와 거의 같아진다.
Fat Tail의 의미: 소표본에서는 극단적인 t값이 나올 가능성이 높기 때문에, 같은 t값이라도 p값이 더 커짐 → 소표본일수록 유의성 확보가 어려움

왜 표준오차(SE)로 나누는가? — Signal vs Noise

t값의 본질: t = 차이(Signal) / 변동성(Noise)
동일한 평균 차이라도 데이터의 퍼짐(변동성)에 따라 의미가 달라짐
- 변동성이 작을 때 → 두 분포가 명확히 분리 → 차이가 확실 → t 큼
- 변동성이 클 때 → 두 분포가 겹침 → 차이가 불분명 → t 작음
표본 수(n)가 커지면: $SE = s / \sqrt{n}$ 이 줄어듦 → t값이 커짐 → 작은 차이도 검출 가능
직관 (동전 던지기 예시):
- 동전 10번 → 앞면 비율이 0.3~0.7로 흔들림 (SE ≈ 0.16, 불안정)
- 동전 100번 → 앞면 비율이 0.45~0.55로 안정 (SE = 0.05, 안정적)
- 이 “분포의 퍼짐 정도”가 바로 표준오차 → 표본이 클수록 SE 감소 → 신뢰도 상승

t검정의 종류

단일표본 t검정 (One-sample t-test)

목적: 한 집단의 평균이 특정 기준값과 다른지 검증
예시: “우리 팀 선수들의 평균 체지방률이 리그 평균(12%)과 다른가?”
수식:

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$

$\bar{x}$ : 표본 평균
$\mu_0$ : 기준값 (모집단 평균)
$s$ : 표본 표준편차
$n$ : 표본 크기
자유도: $df = n - 1$

독립표본 t검정 (Independent two-sample t-test)

목적: 서로 다른 두 집단의 평균이 다른지 검증
예시: “A팀과 B팀의 평균 스프린트 속도에 차이가 있는가?”
전제조건:
- 두 집단이 서로 독립적
- 정규분포를 따름
- 등분산 여부에 따라 공식이 달라짐

등분산 가정 시 (Student’s t-test)

$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$

$S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$

$S_p^2$ 는 합동분산(pooled variance)
자유도: $df = n_1 + n_2 - 2$

이분산 가정 시 (Welch’s t-test)

$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$

자유도: Welch-Satterthwaite 공식으로 계산 (복잡하므로 라이브러리 사용 권장)

대응표본 t검정 (Paired t-test)

목적: 동일한 대상의 전/후 측정값 비교
예시: “트레이닝 프로그램 전후 선수들의 체력이 변했는가?”
수식:

$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$

$\bar{d}$ : 차이값(후 - 전)의 평균
$s_d$ : 차이값의 표준편차
$n$ : 대상 수 (쌍의 수)
자유도: $df = n - 1$

전제조건 검정

정규성 검정 (Normality Test)

목적: 데이터가 정규분포를 따르는지 확인
왜 필요한가: t검정은 데이터가 정규분포를 따른다는 가정 하에 성립
주요 방법:

방법	특징	적합 표본 크기
Shapiro-Wilk	가장 널리 사용, 검정력 높음	$n < 50$
Kolmogorov-Smirnov	대표본에 적합	$n \geq 50$
Q-Q Plot	시각적 확인 (점이 직선 위에 있으면 정규)	모든 크기

판단:
- p $\geq$ 0.05 → “정규분포를 따른다고 볼 수 있음” → t검정 사용 가능
- p < 0.05 → “정규분포를 따르지 않음” → 비모수 검정 사용 (Mann-Whitney U 등)

등분산 검정 (Homogeneity of Variance Test)

목적: 두 집단의 분산(퍼짐 정도)이 같은지 확인
왜 필요한가: 독립표본 t검정에서 등분산 여부에 따라 사용 공식이 달라짐
주요 방법:

방법	특징
Levene’s test	가장 널리 사용, 정규분포 가정 불필요, 강건함
Bartlett’s test	정규분포를 따를 때 사용

판단:
- p $\geq$ 0.05 → “등분산이다” → Student’s t-test 사용
- p < 0.05 → “이분산이다” → Welch’s t-test 사용

p-value의 정확한 이해

p-value란?

정의: 귀무가설( $H_0$ )이 참이라고 가정했을 때, 현재 관측된 t값 이상으로 극단적인 결과가 나올 확률
조건부 확률: $P(\text{Data} \mid H_0)$

p-value가 아닌 것

p-value는 “귀무가설이 참일 확률”이 아니다
데이터가 귀무가설과 얼마나 호환되지 않는지를 보여주는 척도일 뿐

t값과 p-value의 관계

t값 증가(차이가 큼) → p-value 감소(극단적일 확률 감소) → 유의성 증가( $H_0$ 기각 가능성 상승)

기각역 (Rejection Region)

t분포에서 양쪽 끝(꼬리) 5% 영역이 기각역
양측 검정 시 각 꼬리 2.5%씩 → 임계값 $\approx \pm 1.96$ (df가 클 때)
관측된 t값이 기각역 안에 들어오면 → $H_0$ 기각

p > 0.05의 올바른 해석

“두 집단이 같다”를 증명하지 않음
단지 “다르다는 증거가 불충분하다”는 뜻

신뢰구간 (Confidence Interval)

정의

모평균(또는 모평균의 차이)이 존재할 것으로 추정되는 구간
점추정(평균값)만으로는 불확실성을 알 수 없음 → 구간으로 보고

공식

$\text{단일표본: } 95\%\ CI = \bar{x} \pm t^* \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

$\text{독립표본: } 95\%\ CI = (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^* \times SE$

$\text{대응표본: } 95\%\ CI = \bar{d} \pm t^* \times \frac{s_d}{\sqrt{n}}$

$t^*$ : 자유도(df)와 신뢰수준(95%)에 해당하는 t 임계값

해석

95% 신뢰구간에 0이 포함되지 않으면 → 유의한 차이 (p < 0.05와 같은 결론)
95% 신뢰구간에 0이 포함되면 → 차이 없음 (p $\geq$ 0.05와 같은 결론)
구간이 좁을수록 → 추정이 정밀 (표본 크기가 크거나 변동성이 작음)

p값과 신뢰구간의 관계

p값	신뢰구간 (차이)	해석
p < .05	0을 포함하지 않음	유의한 차이
p $\geq$ .05	0을 포함	유의한 차이 없음

신뢰구간이 p값보다 더 많은 정보를 제공 — 차이의 방향과 크기 범위를 알 수 있음
논문에서는 p값과 신뢰구간을 함께 보고하는 것이 권장됨

효과 크기 (Cohen’s d)

목적: p값만으로는 차이의 “크기”를 알 수 없음 → 실질적 의미 판단
해석 기준:

Cohen’s d	해석
0.2 미만	작은 효과
0.2 ~ 0.5	작은~중간 효과
0.5 ~ 0.8	중간 효과
0.8 이상	큰 효과

수식 (독립표본):

$d = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{S_p}$

수식 (대응표본):

$d = \frac{\bar{d}}{s_d}$

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